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      淺談《高等數學》課程的學習

      撰稿:數學教研室  責編:潘吉伙  審核:陳夢實 來源:教育實踐和教學研究,高教信息網  時間:2015/10/28 15:31:56  點擊數:20373

           
            馬克思曾經指出:“一種科學只有成功地運用數學時,才算達到了真正完善的地步!

            高等數學的廣泛應用性表現在它與許多自然學科、工程、經濟和社會實際問題之間存在著來龍去脈的邏輯關聯,高等數學的概念和結論在科研、生產、生活和社會實踐的廣泛領域里獲得應用,幾乎所有自然科學和現代技術都廣泛應用了數學工具,在他們的理論中,到處可見數學手段與數學表述形式,特別是當代在研究經濟、金融、社會現象和生物現象等復雜研究對象時,數學的滲透日趨深化。

            作為高職院校的學生,幾乎所有專業在一年級都開設了高等數學課,部分同學對該課程的學習感到游刃有余、得心應手,取得了優異的成績,形成了良好的數學素養,為后繼課程的學習掃清了障礙,為今后的發展奠定了基礎。但是喜憂參半,還有相當多的同學對《高等數學》的學習充滿了困惑,認為太難了 ,找不著一點感覺,從而失去了信心和興趣,結果考試不及格,對今后學習的影響不必多說。那么如何學好高等數學課?我將從以下幾方面進行探討,希望對同學們的學習有所幫助。

            一、高等數學課的課程體系

            高等數學是以極限為工具、以函數為研究對象的一門學科,學習時要抓住這個主線。

            “極限”作為微積分的工具,貫穿整個課程的始末。許多核心的概念,都是在極限意義下產生的;許多問題的解答,都可轉化為求極限。如:連續的概念(自變量增量趨于零,函數增量也趨于零);導數的概念(確定的比式的極限);定積分的概念(確定的和式的極限);偏導數、二重積分的概念;級數斂散性概念,求級數的收斂半徑,其實質就是求極限等。對于極限的定義,在高職教材中給出的是易懂的描述性定義,但也需要理解這個定義的精髓:由有限到無限、由不變量到變量的本質,從而對概念的理解才能夠深化。至于求極限,也有常見的一些方法,如:利用連續性求極限;利用兩個重要極限求極限;利用無窮小運算性質、代換性質求極限,在學習了導數以后,又給出了求未定式極限的“新式武器”:洛必達法則等。而以上所述方法是在高中階段未學過的,千萬不要掉以輕心!同學們只要針對這些方法,做些有針對性的習題,“極限”這第一道門檻就會輕松邁過!

            “函數”是高數的研究對象。函數有些內容雖在初、高中階段都學過,但通過高數對函數的研究,使之更深化。自然同學們要熟練掌握類似初等數學中六種基本初等函數的定義、圖像與性質這樣有關的問題,設想若冪函數與指數函數都分不清、混為一談,以后的學習如何進行!所以初等數學的一些知識,若有遺忘,要抓緊時間補上,從根源上搞清楚為高數的學習做好鋪墊。

            二、 高等數學課的兩個特點

            高等數學與以不變量為研究對象的初等數學相比,它是以變量為研究對象的一門學科,因而它更抽象、更概括,具有更強的理論性和系統性。簡言之,高等數學具有以下兩個特點:高度的抽象性與嚴密的邏輯性。它不僅能夠培養人的計算能力,而且還能給人以科學的嚴密的邏輯思維和辯證思維的訓練。微積分的本質就是辯證法在數學方面的應用。如:“變與不變”這對矛盾的統一體,在定積分定義“四步曲”:化整為零、以不變代變、積零為整、取極限中;導數定義中,都是辯證思想的運用,再如"以直代曲"等。領會這些微積分的本質,在學習中就有豁然開朗的感覺。

            高等數學的內容,每個章節相互關聯,層層推進,系統性非常強,只要抓住這個特點,對某些章節的學習,就會達到事半功倍的效果。如:利用微分與積分的互為逆運算關系學習積分。有些同學抱怨:剛記住了求導公式,又來了那么多積分公式 ,怎能記得住、分的清。實則,你只需記牢微分公式,將每一條公式倒過來寫(個別需要調整一下系數),不就是對應的積分公式了。這樣做,一旦忘記某條積分公式,從對應的求導公式出發,略加思索,就能得出想要的積分公式。另外多元函數的微積分內容,是與一元函數的微積分內容平行的,只要上冊的一元函數的微積分學得好,多元函數微積分的學習就易如反掌了。

            針對高等數學的以上特點,要求對每個章節的內容要按部就班的逐一弄懂弄通,不要有遺留問題,否則,對以下各章的學習影響甚大!

            三、高職基礎課的教學目標

            高等職業教育的培養目標是在生產服務第一線工作的高層使用人才,及培養生產第一線的應用型、技術型人才,是介于“白領”和“藍領”之間的“金灰領” 。因此,高職高等數學教學已淡化嚴格的數學論證,強化直觀形象的幾何說明,強化重要的結論、公式的應用,即“以應用為目的,必須夠用為度”,把培養學生應用高等數學解決實際問題的能力放在首位。為專業課的學習、能力的培養打下良好的基礎;谝陨系呐囵B目標,高職高等數學的特點是“博而不!。所謂“博”,是指學科面廣、面雜,一般來說,僅用一學年,約120--150學時,學習一元、多元函數的微積分,常微分方程、無窮級數、向量代數與空間解析幾何等若干內容,與本科教育的知識點相差無幾。所謂不專,鑒于高職培養目標以及學時等因素,勢必要打破傳統的數學教學重視演繹及推理、重視定理的嚴格論證的教學模式。因為對于技術應用型人才,不會要求他們用嚴格的邏輯來證明一個純數學問題或公式,也不必對所有的公式、定理的來龍去脈搞得清清楚楚。且在應用中,弱化較復雜的運算,減少缺乏一般性解題規律、運算量大的習題,僅限于基本的運用、較規律性的題目。所以,只要緊扣教材,無需要若干參考書,就能把高等數學學得有聲有色。

            四、幾點具體的建議

            1、正確區分現階段的學習與初、高中階段的不同,提高學習的主動性
      這里指的不同,當然不是所學內容的不同。在初、高中階段學習初等數學知識,強調的是基礎扎實。如:三角中的二倍角公式這個知識點的教學,要做到熟練的正向用、反向用、變形用、與其他三角公式混合用等。下次新課前,又通過變化多端的習題加以鞏固,同學們自然爛熟于心。而現階段,一次課由45分鐘變成90分鐘,學習的知識自然要翻番。另一方面,在初、高中階段經常有名目繁多的考試、綜合練習, 如:每一章的測驗,甚至每一節的,把關題、與兄弟學校的交流題、區里統考、市里統考等,通過這些考試,確實有促鞏固、助消化的作用。而我們現階段,只有一次期末考試,若平時學習缺乏主動性、積極性,問題積累一大堆,到了期末,結果可想而知。

            2、高度重視課程中的有關定義

            大家知道,對于一個新的概念的認識,往往是先用感性的常識將其引進,而要真正的刻畫其實質,還必須將其上升到理性的嚴格數學定義。數學的定義具有抽象、嚴密和簡潔性,同時在學習中它又能起到定義是綱、綱舉目張的作用。例如:函數在一點的連續性定義,是從實例出發,借助于極限,給出了它的嚴格定義,只要將定義理解深刻,很容易得出函數在一點間斷造成的種種原因,以及理解間斷點的分類。對以后碰到的許多定理、結論中要求函數連續或逐段連續的特性,就能在瞬間閃現出連續的幾何直觀及此概念的核心。再如前面提到的定積分定義中的四步曲,下冊的二重積分定義仍是這四步,深刻理解了定積分的定義,則關于二重積分的計算--化為累次定積分的方法就容易掌握了。

            3、抓住學習過程中的幾個重要環節

            (1)課前預習

            如前面所述,現階段的高數課特點是“博”,一次課的信息量非常大。所以課前一定要預習,預習的時間要由自己的自學能力來定。預習時,沒必要也不可能將新課的內容一一弄懂,只需了解大概的重要概念、公式、題型,哪些問題不好懂。這樣帶著問題去聽課,當然有積極性,課堂肯定不會打瞌睡,而且每次課后都有一種成就感。

            (2)提高聽課效果

            老師在課堂上的話,雖不能說句句是精華,但都是多年教學經驗的積累,是經過深思熟慮,取眾多課本之精華,薈萃而成。與自學相比,少走彎路、省時省力、直逼重點、化解難點。因此要養成隨手記筆記的好習慣,當然,課本上有的,你不必記,對于那些老師補充的,比如對定義的注解、對解題規律的總結等,要記下來。有時老師一句話,可解開你幾小時、甚至更長時間才能解決的疑問。另一方面,在記筆記的同時還能使自己聽課的精力更集中,手腦并用,才能保持聽課的最佳狀態?傊,不能放過老師在課堂上的每一句話。

            (3)課后及時復習、鞏固,認真獨立完成作業

            因為課堂信息量大,有時不可能完全將老師所授內容弄懂弄通,課后要結合課堂筆記、教材逐字逐句閱讀理解。要問自己:預習中的問題明白了嗎?能歸納出本次課的幾個概念、定理、公式、題型。在以上問題都解決后,在動手做作業。作業題可是實實在在的檢測自己知識掌握得如何的試金石,題目有的與例題非常接近,自然易解,也有些演變的、綜合的、有些難度的題目,只要講課本中的知識融會貫通,一般來說也不難解決。以上學習過程的特點是:“由薄到厚,再由厚到薄”。

            (4)保持記憶,防止遺忘

            經常聽到同學說:學會了的知識,過一段時間什么都記不起來了。我們從心理學角度出發,找找解決這一問題的辦法。心理學研究表明,20--25歲是人生邏輯記憶力發展的最高峰。因此大學生正處在學習記憶的最佳年齡階段,是記憶能力發展的黃金時期,可以說,大學生的記憶不僅速度快、容量大、持久性好,而且精確、完整(增強自信。。然而,遺忘對于每個人都存在的普遍問題,也同樣存在大學生身上。對于遺忘發展的進程,德國心理學家艾賓浩斯最早進行了系統的研究。其實驗結果表明,遺忘在學習之后立即開始,而且遺忘的過程最初進行的很快,以后逐漸緩慢;過了相當的時間后,幾乎不在遺忘。如,在學習20分鐘之后遺忘就達到了41。8%,1天之后遺忘竟達到了66。3%,而31天后僅達到78。9%。這一研究表明,遺忘的發展是不均衡的,其規律是先快后慢,呈負加速型(經典的艾賓浩斯遺忘曲線)。針對遺忘的上述特點,為了促進知識的保持,復習是防止遺忘的最基本方法。根據遺忘發展的規律是先快后慢,所以要想提高鞏固的效果,必須在遺忘還沒有發生以前及時進行,這樣才能節省學習時間。即采取“及時復習”的原則。

       

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