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      英國的海岸線有多長——極限的應用

      撰稿:數學教研室  責編:潘吉伙  審核:陳夢實 來源:科學  時間:2015/11/17 16:17:14  點擊數:20946

            1967年法國數學家B.B.Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長?”的問題,這好像極其簡單,因為長度依賴于測量單位,以1km為單位測量海岸線,得到的近似長度將短于1km的迂回曲折都忽略掉了,若以1m為單位測量,則能測出被忽略掉的迂回曲折,長度將變大,測量單位進一步變小,測得的長度將愈來愈大,這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值,這個極限值就是海岸線的長度。 

            答案似乎解決了,但Mandelbrot發現:當測量單位變小時,所得的長度是無限增大的。他認為海岸線的長度是不確定的,或者說,在一定意義上海岸線是無限長的。為什么?答案也許在于海岸線的極不規則和極不光滑。我們知道,經典幾何研究規則圖形,平面解析幾何研究一次和二次曲線,微分幾何研究光滑的曲線和曲面,傳統上將自然界大量存在的不規則形體規則化再進行處理,我們將海岸線折線化,得出一個有意義的長度。 

            可貴的是Mandelbrot突破了這一點,長度也許已不能正確概括海岸線這類不規則圖形的特征。海岸線雖然很復雜,卻有一個重要的性質——自相似性。從不同比例尺的地形圖上,我們可以看出海岸線的形狀大體相同,其曲折、復雜程度是相似的。換言之,海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細節。要定量地分析像海岸線這樣的圖形,引入分形維數也許是必要的。經典維數都是整數:點是0維、線是1維、面是2維、體是3維,而分形維數可以取分數,簡稱分維。 

            Mandelbrot畢業于巴黎工學院,獲得理科碩士學位,后在巴黎大學獲得數學博士學位。他是一個愛思索“旁門左道”問題的人,擅長形象地圖解問題,博學多才。1973年他在法蘭西學院講課期間提出了分形幾何的思路,1975年當Bill.Gates與qb創業時,他提出了分形(Fractal)術語,1983年出版《自然界的分形幾何》,分形概念迅速傳遍全球。 

            我們把具有某種方式的自相似性的圖形或集合稱為分形。自相似性就是局部與整體相似,局部中又有相似的局部,每一小局部中包含的細節并不比整體所包含的少,不斷重復的無窮嵌套,形成了奇妙的分形圖案,它不但包括嚴格的幾何相似性,而且包括通過大量的統計而呈現出的自相似性。 

            當屏幕上出人意料的圖案出現時,原本作為研究分形工具的計算機給我們打開了一扇夢幻新天地,以假亂真的模擬圖象、亦真亦假的虛幻境界是否能激起你創作的靈感?

            (未完待續)

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